1. História da Lógica (extraído da apostila da prof.Marisa Gaspar)

A história da lógica começa com os trabalhos do filósofo grego Aristóteles (384-322 a.C.) de Estagira (hoje Estavro), na Macedônia, não se conhecendo precursores de sua obra, no mundo antigo.

Mais tarde, foram reunidos os trabalhos na obra denominada Organon, onde encontramos no capítulo Analytica Priora a parte essencial da Lógica.

Para Aristóteles, o raciocínio (dedutivo) reduz-se essencialmente ao tipo determinado que se denomina silogismo.

Os componentes do silogismo aristotélico são sentenças universais ou particulares, afirmativas ou negativas, isto é , dos tipos seguintes:

A : Todos os animais são mortais – universal afirmativa

E : Nenhum animal é imortal – universal negativa

I : Alguns homens são sábios – particular afirmativa

O: Alguns homens não são sábios – particular negativa

Os silogismo aristotélicos constam de duas premissas e uma conclusão:

Em uma premissa "todo X é Y", X e Y são termos.

Ainda na antiguidade grega, temos a Lógica da escola dos estóicos e megáricos (Euclides de Megara – 400 A.C.). Esta lógica apresenta-se de modo diferente da aristotélica, pois, esta se liga ao Cálculo dos Predicados, ao passo que aquela se refere ao Cálculo Proposicional. Desenvolve aspectos não encontrados em Aristóteles. Pertence a essa escola, Zenão (336-204 A . C. ) que fundou o estoicismo. Crisipo foi o lógico mais fértil dessa época. Filo, também, dessa escola, ensinou que um condicional verdadeiro é a que não tem antecedente verdadeiro e consequente falso, denominada, também, implicação material. Nesta escola, foram ainda dadas as diferenças entre "ou" inclusivo e o "ou" exclusivo e que "se..então.." se define em função de "não" e do "ou".

A Lógica moderna iniciou-se com a obra Investigation of the Laws of Thougt, de George Boole (1815 – 1864). Com isto deu novos rumos à Álgebra da Lógica. Paralelamente, Augustus De Morgan (1806-1871) desenvolveu, também, a Álgebra da Lógica.

As idéias de Boole e De Morgan foram objetos de publicações importantes de Chales Sanders Peirce (1839-1914), nos Estados Unidos.

Surge, então, Gottlob Frege (1848-1925), "o maior lógico dos tempos modernos", segundo Alonzo Church, com sua obra Begriffsschrift, onde pela primeira vez é desenvolvido axiomaticamente o Cálculo Sentencial, usando negação e implicação com conceitos primitivos, seis axiomas e regras de modus ponens e de substituição.

Muitas idéias de Frege tratadas de maneira menos sistemática encontram-se em Peirce.

A seguir vem Bertrand Russel a A.N. Witehead (1861-1947), com uma das mais importantes obras deste século Principia Matemática, em três volumes.

Entre o grande número de lógicos atuais, mencionamos, Kurt Godel e Alfred Tarski. A Godel deve-se a primeira demonstração de completividade da Lógica elementar e da incompletividade de sistemas mais complexos, como a impossibilidade da existência de um sistema axiomático completo e consistente para a Aritmética usual.

A Tarski deve-se muito no que respeita ao progresso dos estudos lógicos. Dentre as suas contribuições, destaca-se, a definição semântica de verdade, que tem aplicações em numerosos campos da Matemática, com repercussões na Filosofia.

É difícil dar hoje uma idéia da ampliação do campo de estudos da lógica, quanto às pesquisas e possibilidades, mas o que é certo é que um conhecimento preliminar ainda que intuitivo é necessário em quase todos os ramos de conhecimento.

Sabe-se que a lógica teve sua maior desenvoltura na Filosofia, caminhando pela Lingüística, Matemática e Ciência da Computação.

2. O estudo da lógica

A Lógica da qual estamos tratando é relativa a pensamentos, objetos de estudo quie podem ser verdadeiros ou falsos, como por exemplo crenças e sentenças declarativas.

VERDADE E FALSIDADE são Valores-verdade.

A Lógica Matemática adota como regras do pensamento os dois princípios:

I - Princípio da Não Contradição

O que você diria se... durante um encontro, eu afirmasse que estudei Lógica e achei a matéria muito fácil. Quase que no mesmo instante, alguém me pergunta o que penso sobre a matéria de Lógica. Eu, ao seu lado, respondo tranqüilamente: - Lógica? Achei a matéria difícil.

No mínimo você diria... - Puxa, como você pode ter duas opiniões ao mesmo tempo? Você não está sendo coerente!

Por isso, este princípio diz:

Toda proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

II - Princípio do Terceiro Excluído

Você obviamente já esteve perdido. Eu já me perdi várias vezes, e aprendi que "quem tem boca vai a Roma" ou seja, se você souber perguntar, pode chegar aonde deseja. Eu acrescentaria, devemos saber o que perguntar e a quem perguntar. Eu pergunto mais de uma vez, pois sei que posso receber uma resposta falsa.

Se você estiver perdido e perguntar (a alguém que sabe a resposta da pergunta), se o metrô passa nesta rua, você pode ter dois tipos de resposta:

1. - O metrô passa nesta rua.

2. - O metrô não passa nesta rua.

Existe alguma outra resposta de alguém que conheça o assunto? Não. Se não existe uma terceira resposta além destas duas então...

Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, verifica-se sempre um destes casos, nunca um terceiro.

3. Conceito de Proposição

Chama-se proposição todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

Desta forma poderíamos dizer que:

- " Eu e você " não é uma proposição

- Você é um leitor interessado é uma proposição.

- sen p = 1 é uma proposição.

- 2 > 1 é uma proposição.

Estas proposições são verdadeiras. Por outro lado...

- Você não está lendo esta apostila

- O Brasil fica na Europa

São proposições também, porém são falsas.

VALORES LÓGICOS DE PROPOSIÇÕES PODEM SER V ou F.

4. Proposições Simples e Compostas

Proposições simples ou atômicas:

- não contém outra proposição como parte integrante de si mesma

- geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Exemplos:

- Você é interessado

- Lógica é importante

- O número 25 é quadrado perfeito

- Você não está lendo esta frase

Proposições compostas ou moleculares:

- são formadas por combinação de duas ou mais proposições

- geralmente são designadas por letras latinas maiúsculas: P, Q, R, S...

Exemplos:

- Você é interessado e é autodidata

- Lógica é importante e interessante

- Se choveu, então a rua está molhada.

O que significa P(p, q)?

P (p, q) indica que a proposição composta P é formada por duas proposições simples: p e q.

5. Conectivos

Os conectivos server para conectar, ligar! Assim, podemos ligar proposições compostas através dos conectivos:

· E (^) : O DDD do Rio é 21 e o de São Paulo é 11

· Ou (v): Quem trabalha no ônibus é motorista ou é cobrador

· Não (~): Você não está entendendo

· Se...então (->): Se você está entendendo, então fizemos um bom trabalho.

· Se e somente se (<->): Você só passará se e somente se tirar um D (note que esta proposição é falsa. Não queremos dar a falsa impressão de que as proposições devem ser sempre verdadeiras.)

6. Tabelas-Verdade

As proposições, simples ou compostas, tem um valor-verdade. Quando encontramos uma proposição composta, precisamos identificar o seu valor-verdade, que pode ser F ou V (veja no item 3).

O valor-verdade de uma proposição composta é o resultado dos valores-verdade das proposições simples que a formam. Por exemplo:

Para passar nesta disciplina, você precisa tirar A E frequentar mais de 75% das aulas. Vamos às perguntas:

- Você tirou A ?

- Você frequentou mais de 75% das aulas?

Vamos identificar o conectivo usado.... E

Vamos identificar as proposições atômicas por letras p e q (minúsculas, v. Item 4) e determinar seus possíveis valores-verdade.

	p	q
1	V	V
2	V	F
3	F	V
4	F	F

Caso 1. Quem tirou A e frequentou mais de 75% das aulas:

Caso 2. Quem tirou A e não frequentou mais de 75% das aulas:

Caso 3. Quem não tirou A e frequentou mais de 75% das aulas:

Caso 4. Quem não tirou A e não frequentou mais de 75% das aulas:

Eu pergunto a você: Quem passou?

Você poderia responder: Só passou quem teve como valor verdade V nos dois critérios (p e q).

Então podemos concluir que o valor-verdade resultante de duas proposições simples verdadeiras é sempre verdadeiro.

E se eu pedisse para algumas pessoas fornecerem, cada uma, uma proposição simples, para formarmos uma proposição composta, a tabela verdade ficaria mais complexa?

Vejamos agora uma proposição composta por três proposições simples...

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação

O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.
Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos:
p : o sol é verde;
q : um hexágono tem nove diagonais;
r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0

V(p) = F
V(q) = V
V(r) = F

7. Operações Lógicas fundamentais (extraída da apostila da prof.M.Gaspar)

Negação

Chama-se negação de uma proposição p a proposição representada por "não p", cujo valor lógico é verdade (V) quando p é falso e falsidade quando p é verdadeiro.
Assim, "não p" tem valor lógico oposto daquele de p.

Simbolicamente, a negação de p é indicada com notação "~ p", que se lê "não p". O valor lógico da negação de uma proposição é, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

p	~ p
V	F
F	V

ou seja, pelas igualdades

~ V = F e ~ F = V

V (~ p) = ~ V(p)

O valor lógico da negação de p é igual à negação do valor lógico de p.

Em linguagem comum a negação efetua-se nos casos mais simples, antepondo o advérbio "não" ao verbo da proposição dada.

Exemplo:

p : o sol é uma estrela

~p : o sol não é uma estrela

Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada expressões tais como "não é verdade que", "é falso que".
Exemplo:
q : Carlos é engenheiro
~q : é falso que Carlos é engenheiro;
~q : não é verdade que Carlos é engenheiro.

~q : não acontece que Carlos é engenheiro.

Conjunção

Chama-se conjunção de duas proposições p e q a proposição representada por "p e q", cujo valor lógico é a verdade (V) quando as proposições p e q são verdadeiras e a falsidade (F) nos demais casos.

p	q	p Ù q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Disjunção

Chama-se disjunção de duas proposições p e q a proposição representada por p ou q, cujo o valor lógico é a verdade (V) quando ao menos uma das proposições p e q é verdadeira e a falsidade (F) quando as proposições p e q são ambas falsas.

p	q	p Ú q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Disjunção Exclusiva

Chama-se disjunção exclusiva de duas proposições p e q a proposição representada simbolicamente por p V q, que se lê: "ou p ou q" ou "p ou q, mas não ambos", cujo valor lógico é a verdade (V) somente quando p é verdadeira ou q é verdadeira, mas não quando p e q são ambas verdadeiras, e a falsidade (F) quando p e q são ambas verdadeiras ou falsas.

p	q	p Ú q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Condicional

Chama-se proposição condicional ou apenas condicional uma proposição representada por "se p então q", cujo valor lógico é a falsidade (F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa e a verdade (V) nos demais casos.

p	q	p ® q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Bicondicional

Chama-se proposição bicondicional ou apenas bicondicional uma proposição representada por "p se e somente q", cujo valor lógico é a verdade(V) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas, e a falsidade (F) nos demais casos.

p	q	p « q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

8. Tautologias, Contradições e Contingências

Tautologia - Chama-se tautologia toda a proposição composta cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V (verdadeira). Em outros termos, Tautologia é toda proposição composta P(p, q, r, ...) cujo valor lógico é sempre (V) verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes.

Exemplos:
a) A proposição "~ (p Ù ~ p)" (ex. Você não pode ser solteiro e não sê-lo ao mesmo tempo - Princípio da não contradição) - é tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p	~ p	p Ù ~ p	~ (p Ù ~ q)
V	F	F	V
F	V	F	V

1. Perceba que p representa: - Você é solteiro. Na coluna 1 vemos o valor que p pode assumir por vez, ou seja ele V (segunda linha) ou F (terceira linha).

2. Na primeira linha, quando o valor verdade de p é V, sua negação (segunda coluna, segunda linha) é F (Você não é solteiro).

3. Na terceira coluna (segunda linha): - você é solteiro E você não é solteiro – tem como valor-verdade F.

4. Na quarta coluna (segunda linha): se a terceira coluna é V, sua negação deve ser F.

Exercício: Descreva o que acontece com a segunda linha.

b) A proposição "p Ú ~ p" (Princípio do terceiro excluído) é uma tautologia.

p	~ p	p Ú ~ p
V	F	V
F	V	V

Contradição - Chama-se contradição toda a proposição composta cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F (falsidade).

Em outros termos, contradição é toda proposição composta P(p, q, r,...) cujo valor lógico é sempre F (falsidade), quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples componentes p, q, r, ...
Como uma tautologia é sempre verdadeira (V), a negação de uma tautologia é sempre falsa (F), ou seja, é uma contradição, e vice-versa.

Exemplo: Estarei sendo contraditório ao dizer:

p: Eu gosto de Lógica

Então...

~p: Eu não gosto de Lógica

Na terceira coluna temos a contradição...

Eu gosto de Lógica e eu não gosto de Lógica

Veja a Tabela deste exemplo e analise os valores de p que podem ser assumidos (coluna 1), os valores que negam p (coluna 2, preenchidos a partir dos valores de p) e a terceira coluna, preenchida através da operação de..... (escolha a verdadeira):

[] conjunção [] disjunção [] negação

p	~ p	P Ù ~ p
V	F	F
F	V	F

A terceira coluna ( p & não p ) representa uma disjunção(^) e é uma contradição. Por quê?

Outro exemplo de contradição:

Eu vou ao cinema se e somente se eu não for ao cinema.

p	~ p	p « ~ p
V	F	F
F	V	F

Contingência - Chama-se contingência toda a proposição composta em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.
Em outros termos, contingência é toda proposição composta que não é tautologia nem contradição.
As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas.

p	~ p	p ® ~ p
V	F	F
F	V	V

9. Equivalência Lógica

Uma proposição P(p,q,r...) é logicamente equivalente a uma proposição Q(p,q,r...), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas.

Usa-se o símbolo ópara determinar a equivalência. Este símbolo faz parte de uma metalinguagem e difere do símbolo de bicondicional <->

A notação de equivalência seria :

P(p, q,r...) ó Q(p,q,r…)

Se a tabela-verdade de duas proposições resulta em Tautologia, logo as duas possuem V na última coluna (a que expressa o valor-verdade da proposição).

Se as duas proposições possuem V em todas as linhas da última coluna, logo são equivalentes. Se possuem F na última coluna também.

Logo, pelo mesmo motivo, se duas proposições são contradições, logo são equivalentes.

Não tem mágica!

Formalmente falando, posso dizer que estou cansado e não estou cansado. É uma contradição.

Se eu disser estou doente e não estou doente é também uma contradição. Pela forma, equivale à proposição anterior.

10. Propriedades da Equivalência Lógica

Vamos relacionar algumas propriedades e explicá-las:

- Reflexiva (a proposição é equivalente a ela mesma):

P(p,q,r..) ó P(p,q,r..)

- Simétrica (se uma proposição equivale a uma outra, esta outra equivale à primeira):

Se P(p,q,r..) ó Q(p,q,r..) então Q(p,q,r..) ó P(p,q,r..)

- Transitiva (se uma proposição equivale a uma segunda, e a segunda proposição é equivalente à uma terceira, a primeira equivale à terceira).

Se P(p,q,r..) ó R(p,q,r..) e R(p,q,r..) ó Q(p,q,r..)

então P(p,q,r..) ó Q(p,q,r..)

Exemplos: (sugestão: verificar as tabelas verdades de cada exemplo no livro Iniciação à Lógica Matemática).

p: A rua está molhada

q: Choveu hoje

São equivalentes:

1) ~~p e p (não é verdade que a rua não está molhada equivale a .... a rua está molhada)

2) ~p -> p e p

3) p->p^q e p -> q

4) p->q e ~p v q (ex. se a rua está molhada então choveu é equivalente a .... ou a rua na está molhada ou choveu . Ou seja, descubra se a rua está molhada que você saberá que se choveu ou não.)

5) p<->q e (p-q) ^(q->p) (em outras palavras, se p então q e se q então p).

6) p<->q e (p^q) V (~p^~q) (ex. Só vou a praia se, e somente se o tempo estiver bom. Equivale dizer: Vou a praia e o tempo está bom ou não vou à praia e o tempo não está bom).

Com este ultimo exemplo, fica fácil perceber o que as pessoas estão dizendo e o que pode acontecer, após uma afirmativa como esta que mostramos.

11. Álgebra das Proposições

Equivalências Notáveis (retirado da apostila da prof. M.Gaspar)

Propriedades da Conjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade).

(a) Idempotente : p Ù p Û p

p	p Ù p	p Ù p « p
V	V	V
F	F	V

(b) Comutativa : p Ù q Û q Ù p

p	q	p Ù q	q Ù p	p Ù q « q Ù p
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

(c) Associativa : (p Ù q) Ù r Û p Ù (q Ù r)

p	q	r	p Ù q	(p Ù q) Ù r	q Ù r	p Ù (q Ù r)	(p Ù q) Ù r « p Ù (q Ù r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	F	F	F	V
V	F	F	F	F	F	F	V
F	V	V	F	F	V	F	V
F	V	F	F	F	F	F	V
F	F	V	F	F	F	F	V
F	F	F	F	F	F	F	V

As colunas 5 e 7 são equivalentes

(d) Identidade : p Ù t Û p e p Ù c Û c

p	t	c	p Ù t	p Ù c	p Ù t « p	p Ù c « c
V	V	F	V	F	V	V
F	V	F	F	F	V	V

As colunas equivalentes são 1, 4 e 3, 5.

Propriedades da Disjunção

Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições também simples cujos valores lógicos respectivos são V (verdade) e F (falsidade).

(a) Idempotente : p Ú p Û p

p	p Ú p	p Ú p « p
V	V	V
F	F	V

(b) Comutativa : p Ú q Û q Ú p

p	q	p Ú q	q Ú p	p Ú q « q Ú p
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	V	V	V
F	F	F	F	V

(c) Associativa : (p Ú q) Ú r Û p Ú (q Ú r)

p	q	r	p Ú q	(p Ú q) Ú r	q Ú r	p Ú (q Ú r)	(p Ú q) Ú r « p Ú (q Ú r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	V	V
V	F	V	V	V	V	V	V
V	F	F	V	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V	V
F	F	V	F	V	V	V	V
F	F	F	F	F	F	F	V

As colunas 5 e 7 são equivalentes

(d) Identidade : p Ú t Û t e p Ú c Û p

p	t	c	p Ú t	p Ú c	p Ú t « p	p Ú c « c
V	V	F	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V	V

As colunas equivalentes são 1, 5 e 2, 4.

Propriedades da Conjunção e da Disjunção

(a) Distributivas

(i) p Ù (q Ú r) Û (p Ù q) Ú (p Ù r)

p	q	r	q Ú r	p Ù (q Ú r)	p Ù q	p Ù r	(p Ù q) Ú (p Ù r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	F	V
V	F	V	V	V	F	V	V
V	F	F	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F	F	F
F	V	F	V	F	F	F	F
F	F	V	V	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

As colunas 5 e 8 são equivalentes

(ii) p Ú (q Ù r) Û (p Ú q) Ù (p Ú r)

p	q	r	q Ù r	p Ú (q Ù r)	p Ú q	p Ú r	(p Ú q) Ù (p Ú r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	F	V	V	V	V
V	F	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	V	V	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	F	F	V	F	F
F	F	V	F	F	F	V	F
F	F	F	F	F	F	F	F

As colunas 5 e 8 são equivalentes

(b) Absorção

(i) p Ù (p Ú q) Û p

p	q	p Ú q	p Ù (p Ú q)	p Ù (p Ú q) « p
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	V	F	V
F	F	F	F	V

As colunas 1 e 4 são equivalentes

(ii) p Ú (p Ù q) Û p

p	q	p Ù q	p Ú (p Ù q)	p Ú (p Ù q) « p
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

As colunas 1 e 4 são equivalentes

(c) Regras de DE MORGAN (1806 – 1871)

Com De Morgan pode-se colocar a negação associada a cada uma das proposições, sejam elas conjunções ou disjunções ou seja:

(i) ~ (p Ù q) Û ~ p Ú ~ q ( ex. Não é verdade que a rua está molhada e também suja equivale a dizermos que ou a rua não está molhada ou não está suja.)

Explicando o exemplo, quando montamos uma conjunção ela é formada por duas proposições que ocorrem ao mesmo tempo. Para que uma conjunção formada por duas proposições seja F, uma das duas proposições falhou.

p	Q	p Ù q	~ (p Ù q)	~ p	~ q	~ p Ú ~ q
V	V	V	F	F	F	F
V	F	F	V	F	V	V
F	V	F	V	V	F	V
F	F	F	V	V	V	V

As colunas 4 e 7 são equivalentes

(ii) ~ (p Ú q) Û ~ p Ù ~ q (ex. não é verdade que eu tirei mais de 5 na prova ou que eu tirei menos de 3 na prova. Equivale dizer que eu não tirei mais de 5 na prova e também não tirei menos que 3 na prova.

Explicando o exemplo, quando temos uma disjunção, uma das duas proposições é verdadeira. Para que eu negue uma disjunção, não basta apenas uma ser falsa, as duas devem ser falsas.

p	q	p Ú q	~ (p Ú q)	~ p	~ q	~ p Ù ~ q
V	V	V	F	F	F	F
V	F	V	F	F	V	F
F	V	V	F	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V

As colunas 4 e 7 são equivalentes

Condicional

p ® q Û ~ p Ú q (ex. se choveu então a rua está molhada. Ou não choveu ou a rua está molhada.)

p	q	p ® q	~ p	~ p Ú q
V	V	V	F	V
V	F	F	F	F
F	V	V	V	V
F	F	V	V	V

As colunas 3 e 5 são equivalentes

12. Forma Normal

A curiosidade faz parte do ser humano. Se você agir como um detetive, poderá descobrir características em determinadas afirmações feitas, que algumas pessoas não percebem.

Por exemplo, você sabia que as proposições não precisam utilizar todos os conectivos que vimos até agora? Basta utilizar ~ , ^ e v . Em outras palavras proposições podem ser expressas através de negações, conjunções e disjunções.

Uma proposição está na forma normal (FN) se e somente se contém os conectivos ~ , ^ e v.

Existem dois tipos de FN:

Forma Normal Conjuntiva
Forma Normal Disjuntiva

13. Forma Normal Conjuntiva (FNC)

· Contém apenas conectivos ~ , ^ e V

· ~ não aparece repetido, como ~~

· V não tem alcance sobre ^ (não existe p v (q^r))

Como transformar uma proposição em outra, equivalente, na FNC?

Elimine os conectivos -> e <-> substituindo:

p - > q por ~p v q

p<->q por (~p v q) ^(p v ~q)

Elimine as duplas negações substituindo:

~~ p por p q

~ (p Ù q) por ~ p Ú ~ q

~ (p Ú q) por ~ p Ù ~ q

Substitua

p v (q Ù r) por (p v q) Ù (p v r )

p Ù (q v r) por (p v r) Ù (q v r )

Exercício: Veja no Livro Iniciação ‘a Lógica Matemática alguns exemplos.

14. Forma Normal Disjuntiva (FND)

· Contém apenas conectivos ~ , ^ e V

· ~ não aparece repetido, como ~~ e só incide sobre letras proposicionais

· ^ não tem alcance sobre v (não existe p ^ (q v r) )

Como transformar uma proposição em outra, equivalente, na FNC?

Use as duas primeiras regras para FNC (item 13)
Substitua

p Ù (q v r) por (p Ù q) v (p Ù r )

(p v q ) Ù r por (p Ù r) v (q Ù r )

Exercício: Veja no Livro Iniciação ‘a Lógica Matemática alguns exemplos.

Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada seqüência finita P₁, P_2,...,P_n de proposições tem como conseqüência ou acarreta uma proposição final Q.

As proposições P₁, P₂,..., P_n dizem-se as premissas do argumento, e a proposição final Q diz-se a conclusão do argumento.

Um argumento de premissas P₁, P₂,...,P_ne de conclusão Q indica-se por:

P₁, P₂,...,P_na Q, onde se lê: "P₁P₂,...,P_n acarretam Q".

Na forma padronizada as premissas invocadas para "servir de justificativa", acham-se sobre o traço horizontal e a conclusão do argumento estará sob o mesmo traço horizontal.

15. Validade de um Argumento

Um argumento P₁,P₂,...,P_n_aQ diz-se válido se e somente se a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P₁,P₂,...,P_n são verdadeiras.

Portanto, todo argumento válido goza da seguinte característica: A verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

Um argumento não-válido diz-se um sofisma.

Deste modo, todo argumento tem um valor lógico, digamos V se é válido(correto, legítimo) ou F se é um sofisma(incorreto, ilegítimo).

As premissas dos argumento são verdadeiras ou, pelo menos admitidas como tal. Aliás, a Lógica só se preocupa com a validade dos argumentos e não com a verdade ou falsidade das premissas e das conclusões.

A validade de um argumento depende exclusivamente da relação existente entre as premissas e a conclusão. Portanto, afirmar que um dado argumento é válido significa afirmar que as premissas são verdadeiras.

16. Regras de inferência usadas para demonstrar a validade dos argumentos

Qual a importância de se saber as regras de inferência? A partir delas, você pode modificar fórmulas para demonstrar a validade de argumentos. Tente entender cada uma das regras e lembre-se delas para poder utilizá-las.

Seja p: “ eu gosto de praia” e seja q: “ eu gosto de piscina”

AD – Se gosto de praia, então... gosto de praia ou piscina (ou...de piscina ou praia)

SIMP – Se gosto de piscina e gosto de praia, então... eu gosto de piscina (ou...eu gosto de praia)

CONJ – Gosto de praia. Gosto de piscina. Logo, gosto de praia e de piscina.

ABS – Se alguém gosta de praia então gosta de piscina. Logo, quem gosta de praia, gosta de praia e de piscina.

MP – Quem gosta de praia, gosta de piscina. Ilan gosta de praia. Logo, Ilan gosta de piscina.

MT – Gostar de praia implica em gostar de piscina. Ilan não gosta de piscina. Logo, não gosta de praia.

Exercício: completar os exemplos e debater na lista de discussão (http://www.api.adm.br/ufrj/logica):

SD -

SH –

DC –

DD -

Regra de adição (AD):

i)ii)

Regra de simplificação (SIMP):

i) ii)

Regra da conjunção (CONJ):

i)ii)

Regra da absorção(ABS):

Regra modus ponens(MP):

Regra modus tollens(MT):

Regra do silogismo disjuntivo(SD):

i) ii)

Regra do silogismo hipotético(SH):

Regra do dilema construtivo(DC):

Regra do dilema destrutivo(DD):

Com o auxílio destas dez regras de inferência podemos demonstrar a validade de um grande número de argumento mais complexos.

A validade de qualquer argumento pode ser demonstrada, verificada e testada mediante Tabelas-verdade, Regra de Inferência, Equivalências e Fluxogramas.

17. Prova de Não-Validade

Sabendo-se que de um dado argumento, formado por premissas e com uma conclusão, podemos tentar, a partir de premissas verdadeiras, chegar a uma conclusão falsa.

Se conseguirmos, a partir de premissas verdadeiras, chegar a uma conclusão falsa, o argumento não é válido.

Exercício: entender como se demonstra a não validade, a partir dos exercícios do livro Iniciação à Lógica Matemática.

18. Demonstração a partir de regras de inferência

Veja no livro Iniciação à Lógica Matemática alguns exemplos de demonstração a partir das regras de inferência. Baixe o programa Logícola e verifique o que aprendeu,fazendo alguns testes.

19. Regras de substituição

As vezes é necessário substituir uma proposição por outra equivalente. Pense um pouco:

p equivale a p ^p e também equivale a p v p. Se eu disser que estou passando bem e estou passando bem você entenderá perfeitamente. O ascensorista brincalhão pergunta: O seu andar é 6 ou meia-dúzia?

Exercício: No livro Iniciação à Lógica Matemática encontram-se dez tipos de proposições equivalentes (cap.12). Faça uma tabela com elas.

Exercício: Marque V ou F

1: Consistência e validade

Um conjunto de crenças é consistente somente se for possível para todas elas serem verdadeiras ao mesmo tempo. Ou seja, se elas são de fato verdade ou se poderiam, todas, serem verdade. ( )

Um conjunto de crenças é inconsistente somente se não for possível para todas elas serem verdadeiras. ( )

Uma crença pode ser considerada consistente (se ela for passível de ser verdadeira) ou inconsistente (se não for possível para ela ser verdadeira).

( )

Uma crença inconsistente é conhecida como uma contradição ( )

Uma crença simples que nao pode ser falseada expressa necessariamente uma verdade ( )

Uma crença simples que nao é inconsistente e nao expresa necessariamente uma verdade, é contingente ( )

Cuidado, veja que interessante:

{Socrates is a man, All men are mortal, Socrates is not mortal}

aparentemente é inconsistente. Porém se eu disser que a pessoa que não é mortal é um outro Sócrates, que não o primeiro, ela torna-se consistente!

Visite os Links utilizados (última visita em março de 2003)

1. Professora Marisa Gaspar – apostila: http://sites.uol.com.br/mjgaspar/logica/logica

2. Universidade de Oxford: http://logic.philosophy.ox.ac.uk

http://www.oxford-virtual.com/Philosophy/Tomassi/index.html

3. Fontini – Apostila sobre Lógica http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html

4. USP: http://labic.icmc.sc.usp.br/didatico/PostScript/ML.html

http://labic.icmsc.sc.usp.br/portugues/courses.htm

http://www.pcs.usp.br/~mtulio/transp/5711-cap3b-logica-verdade-proposicional-predicados-2002ciclo1.pdf

5. http://www.lmc.fc.ul.pt/~jnsilva/logica97/node15.html

http://www.ec.ucdb.br/~marco/courses02a/ai2/papers/machine-learning.htm

6.Sociedade Brasileira De Lógica http://www.cle.unicamp.br/sbl/BoletimSBL2002.htm

Bibliografia:

1. ALENCAR FILHO, E.(1986) “Iniciação à Lógica Matemática”. Ed. Nobel, 16^a. edição. São Paulo. [Disponível na biblioteca do Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza – CCMN/UFRJ].

2. SOUZA, João Nunes de (2002) “Lógica para Ciência da Computação”. Ed. Campus. Rio de Janeiro.

3. ROBBIN, Joel W. (1969) “ Mathematical Logic: A First Course” . W.A.Benjamin Inc, New York [Disponível na biblioteca do Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza – CCMN/UFRJ].

4. Página da disciplina de lógica do Ilan. http://www.api.adm.br/ufrj/logica